에우클레이데스의 원론


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유클리드의 원론》(그리스어: Στοιχεῖα, 스토이케이아)은 고대 그리스의 저명한 수학자에우클레이데스(유클리드)가 기원전 3세기에 집필한 으로 총 13권으로 구성되어 있다. 그리스어 제목 Στοιχεῖα는 ‘원소’, ‘구성 요소’, ‘글자’ 등을 뜻하는 단어이며, 기하학 원본이라는 제목으로도 불리며, 흔히 ‘세계 최초의 수학 교과서’로 일컬어진다. 에우클레이데스는 이 책에서 정의 131개와 공준 5개, 공리 5개로부터 465개의 명제를 만들어냈다.

목차

주요 내용


《원론》의 내용은 다음과 같다. 제 1권에서 제 4권까지는 2차원 기하학에 관한 내용을 담고 있다.

제 5권부터 비율비례로부터 시작해 기초적인 수론을 다룬다. 제 6권에서는 제 4권에 이어 이를 도형에 적용하고 제 10권까지 다시 수론을 다룬다.

제 11권에서 제 13권까지는 3차원 기하학에 관한 내용들 담고 있다.


유클리드 원론 제2권 법칙4


\({\displaystyle \;{\overline {AB}}}\)에서 임의의 한 \({\displaystyle C}\)에대해서 \({\displaystyle {\overline {CB}}={\overline {BI}}={\overline {AH}}}\)이고,[2]
\({\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {BD}}={\overline {ED}}}\)이므로,
\({\displaystyle {\overline {AC}}={\overline {EF}}={\overline {EH}}}\)
\({\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+2\left({\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\right)}\)

따라서,

\({\displaystyle {\overline {AC}}={\overline {HE}}=a}\)
\({\displaystyle {\overline {CB}}={\overline {AH}}=b}\)
\({\displaystyle {\overline {AC}}+{\overline {CB}}={\overline {AB}}={\overline {AE}}=c}\)일때,
\({\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}\)
\({\displaystyle c^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}\)

이것은 대표적인 곱셈공식이다.

제1권 법칙47


\({\displaystyle {\overline {AC}}^{2}={\overline {AO}}\cdot {\overline {AG}}\qquad ,\qquad {\overline {BC}}^{2}={\overline {OB}}\cdot {\overline {BF}}}\)
\({\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}=\left({\overline {AO}}\cdot {\overline {AG}}\right)+\left({\overline {OB}}\cdot {\overline {BF}}\right)}\)
\({\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}}\)

유클리드의 피타고라스 정리 증명은 닮음꼴 이론을 사용하지 않으므로서 순수하게 기하학적이다.[3]

\({\displaystyle {\overline {AC}}=b\;\;.\;\;{\overline {BC}}=a\;\;,\;\;{\overline {AB}}=c}\)일때,
\({\displaystyle b^{2}+a^{2}=c^{2}}\)

2권 법칙 12


유클리드 원론 2권 법칙4 에서, 둔각삼각형 \({\displaystyle \triangle {ABC}}\)에서\({\displaystyle ,\;{\overline {BD}}}\)의 임의의 한점 \({\displaystyle C}\)에대해서,[4]

\({\displaystyle {\overline {BD}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)}\)
\({\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\;\;}\)

그리고,

\({\displaystyle {\overline {AC}}^{2}={\overline {CD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}\;\;}\)
\({\displaystyle {\overline {AC}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}={\overline {AD}}^{2}\;\;}\)

따라서,

\({\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}}\)
\({\displaystyle {\overline {AB}}^{2}=\left({\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)\right)+\left({\overline {AC}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}\right)}\)
\({\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)}\)

그리고

\({\displaystyle cos(\pi -\alpha )={{\overline {CD}} \over {\overline {AC}}}}\)
\({\displaystyle {\overline {CD}}={\overline {AC}}\cos(\pi -\alpha )}\)
\({\displaystyle {\overline {CD}}=-{\overline {AC}}\cos \alpha }\)

따라서,

\({\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+2\left({\overline {BC}}\cdot {\overline {CD}}\right)}\)
\({\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}-2\left({\overline {BC}}\cdot {{\overline {AC}}\cos \alpha }\right)}\)
\({\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha }\)

이것은 제2코사인법칙이 되겠다.

2권 법칙13


예각삼각형을 예약하고,[5] 이것을 \({\displaystyle cosine}\)에대해 나타내보면,

\({\displaystyle {\overline {BC}}={\overline {BD}}+{\overline {DC}}}\)
\({\displaystyle \cos B={{\overline {BD}} \over {c}}}\)
\({\displaystyle \cos Bc={\overline {BD}}}\)
\({\displaystyle \cos C={{\overline {DC}} \over {b}}}\)
\({\displaystyle \cos Cb={\overline {DC}}}\)

따라서,

\({\displaystyle {\overline {BC}}={\overline {BD}}+{\overline {DC}}}\)
\({\displaystyle a=c\cos B+b\cos C}\)

이것은,코사인법칙의 제1코사인법칙이다.

\({\displaystyle a=b\cos C+c\cos B,b=c\cos A+a\cos C,c=a\cos B+b\cos A}\)

3권 법칙 3


과 그 원의 중심점에 한점을 두는 삼각형을 예약하고,[6]

두 점 사이의 거리에서,
\({\displaystyle l={\sqrt {({x_{2}}-{x_{1}})^{2}+({y_{2}}-{y_{1}})^{2}}}}\)이므로,
\({\displaystyle D=(\cos \;\alpha ,\sin \;\alpha )\;\;,\;\;C=(\cos \beta ,\sin \beta )}\)
\({\displaystyle {\overline {DC}}^{2}=(\cos \beta -\cos \;\alpha )^{2}+(\sin \beta -\sin \;\alpha )^{2}}\)
\({\displaystyle =\left((\cos \beta -\cos \;\alpha )\cdot (\cos \beta -\cos \;\alpha )\right)+\left((\sin \beta -\sin \;\alpha )\cdot (-\sin \beta -\sin \;\alpha )\right)}\)
\({\displaystyle =\left((\cos \beta )^{2}-2\cos \alpha \cos \beta +(\cos \;\alpha )^{2}\right)+\left((\sin \beta )^{2}-2\sin \alpha \sin \beta +(\sin \alpha )^{2}\right)}\)
\({\displaystyle =(\cos \beta )^{2}+(\cos \;\alpha )^{2}+(\sin \beta )^{2}+(\sin \alpha )^{2}-2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta }\)
\({\displaystyle =(\cos ^{2}\beta +\cos \;\alpha ^{2})+(\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\alpha )-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)}\)

그리고 삼각함수 항등식피타고라스 정리에서,

\({\displaystyle \sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1}\)

따라서,

\({\displaystyle =1+1-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)}\)
\({\displaystyle {\overline {DC}}^{2}=2-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)}\)

한편,

이것은,제2코사인법칙에서는,
\({\displaystyle {\overline {DC}}^{2}={\overline {OD}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}-2\left({\overline {OD}}\cdot {{\overline {OC}}\cos(\alpha -\beta )}\right)}\)
\({\displaystyle {\overline {DC}}^{2}=1^{2}+1^{2}-2\left(1\cdot {1\cos(\alpha -\beta }\right))}\)
\({\displaystyle {\overline {DC}}^{2}=2-2\cos \left({\alpha -\beta }\right)}\)

그리고,

\({\displaystyle {\overline {DC}}^{2}=2-2\cos \left({\alpha -\beta }\right)=2-2\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)}\)

따라서,

\({\displaystyle \cos \left({\alpha -\beta }\right)=\left(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)}\)

이렇게 삼각함수의 덧셈정리중 코사인함수에 접근해볼수있다.

2권 법칙 9


정삼각형에서 \({\displaystyle {\overline {AE}}=1}\)을 예약하고,[7]
\({\displaystyle {{\overline {AF}} \over {1}}={\cos \alpha }}\)
\({\displaystyle {{\overline {EF}} \over {1}}={\sin \alpha }}\)
\({\displaystyle {{\overline {FD}} \over {AF}}={\sin \beta }}\)
\({\displaystyle sina}\)
\({\displaystyle {{\overline {EG}} \over {\overline {EF}}}={\cos \beta }}\)
\({\displaystyle {\overline {EG}}={\cos \beta }{\overline {EF}}={\cos \beta }\,{\sin \alpha }}\)
\({\displaystyle {\sin(\alpha +\beta )}={{{\overline {EG}}+{\overline {GC}}} \over {1}}}\)
\({\displaystyle {\sin(\alpha +\beta )}={{\cos \beta }\,{\sin \alpha }}+{\sin \beta \cos \alpha }}\)

이것은 삼각함수의 덧셈정리중 사인함수이다.

한편,예약된 정삼각형에서,[8]
\({\displaystyle {\overline {AE}}=1,\angle A=\angle E=\angle B,\angle A=\angle \alpha +\angle \beta ,\angle \alpha =\angle \beta }\)
\({\displaystyle {{\overline {EF}} \over {1}}={\sin \alpha }}\)
\({\displaystyle {{\overline {AF}} \over {1}}={\cos \alpha }}\)
\({\displaystyle {{\overline {AD}} \over {AF}}={\cos \beta }}\)
\({\displaystyle {\overline {AD}}={\cos \beta }{\overline {AF}}}\)
\({\displaystyle {\overline {AD}}={\cos \beta }\,{\cos \alpha }}\)
\({\displaystyle {{\overline {GF}} \over {\overline {EF}}}={\sin \beta }}\)
\({\displaystyle {\overline {GF}}={\sin \beta }{\overline {EF}}}\)
\({\displaystyle {\overline {GF}}={\sin \beta }\,{\sin \alpha }}\)


\({\displaystyle {\overline {GF}}={\overline {CD}}={\sin \beta }\,{\sin \alpha }}\)
\({\displaystyle {\cos(\alpha +\beta )}={{\overline {AC}} \over {1}}}\)
\({\displaystyle {\cos(\alpha +\beta )}={{\overline {AD}}-{\overline {CD}}}}\)
\({\displaystyle {\cos(\alpha +\beta )}={\cos \beta \cos \alpha }-{\sin \beta \sin \alpha }}\)

이것은 삼각함수의 덧셈정리중 코사인함수이다.

2권 법칙 8


기하학에서, 두 점 사이의 거리좌표평면에서 임의의 두 점 \({\displaystyle D(x_{1},y_{1}),K(x_{2},y_{2})}\)을 예약하고,[9]

점 \({\displaystyle D(x_{1},y_{1})}\)에서 \({\displaystyle x}\)축에 평행하게 그은 직선과 \({\displaystyle K(x_{2},y_{2})}\)에서 \({\displaystyle y}\)축에 평행하게 그은 직선이 서로 만나는 점 \({\displaystyle N}\)을 예약할 수 있다.
두 점 \({\displaystyle D,K}\) 사이의 거리를 \({\displaystyle l}\)이라고 가정했을때,
\({\displaystyle \triangle NDK}\)는 \({\displaystyle l}\)을 빗변으로 하는 직각삼각형이고, \({\displaystyle {\overline {NK}}=x_{2}-x_{1}\;,\;{\overline {ND}}=y_{2}-y_{1}}\)이므로,
\({\displaystyle l,{\overline {ND}},{\overline {NK}}}\)은 피타고라스 정리에 의해 다음과 같은 관계가 있다.
\({\displaystyle {\begin{aligned}l^{2}&={\overline {NK}}^{2}+{\overline {ND}}^{2}\\&=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}\end{aligned}}}\)
\({\displaystyle \Leftrightarrow l={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}\)

따라서,

좌표평면에서 두 점 \({\displaystyle D(x_{1},y_{1}),K(x_{2},y_{2})}\)가 있을 때 두 점 사이의 거리 \({\displaystyle l}\)은 다음과 같다.
\({\displaystyle l={\sqrt {({x_{2}}-{x_{1}})^{2}+({y_{2}}-{y_{1}})^{2}}}}\)

2권 법칙 5와 6


임의의 선분 \({\displaystyle {\overline {AB}}}\)을 예약하고,

\({\displaystyle {\overline {AB}}}\)을 이등분하는 \({\displaystyle C}\)를 가정하면,[10]
\({\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AC}}+{\overline {CD}}={\overline {CD}}+{\overline {CB}}}\)
\({\displaystyle {\overline {BD}}=\qquad \qquad \qquad {\overline {CD}}-{\overline {CB}}}\)
\({\displaystyle {\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}=\left({\overline {CD}}+{\overline {CB}}\right)\left({\overline {CD}}-{\overline {CB}}\right)={\overline {CD}}^{2}-{\overline {CB}}^{2}}\)
\({\displaystyle {\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {CD}}^{2}}\)

이것은 대표적인 곱셈공식으로부터 유도되는 피타고라스 정리의 변형이다.

피타고라스 정리의 변형

\({\displaystyle {\overline {AD}}\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {CD}}^{2}}\)
\({\displaystyle \left(2{\overline {CB}}+{\overline {BD}}\right)\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}={\overline {CD}}^{2}}\)
\({\displaystyle {\overline {CD}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {FH}}^{2}}\)
\({\displaystyle \left(2{\overline {CB}}+{\overline {BD}}\right)\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {CD}}^{2}+{\overline {FH}}^{2}}\)
\({\displaystyle \left(2{\overline {CB}}+{\overline {BD}}\right)\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {CD}}^{2}-{\overline {CD}}^{2}+{\overline {FH}}^{2}}\)
\({\displaystyle \left(2{\overline {CB}}+{\overline {BD}}\right)\cdot {\overline {BD}}+{\overline {CB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {FH}}^{2}}\)
\({\displaystyle \left(2{\overline {CB}}\cdot {\overline {BD}}\right)+{\overline {BD}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {FH}}^{2}}\)
\({\displaystyle \left(\left(2{\overline {CB}}\cdot {\overline {BD}}\right)+{\overline {BD}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}\right)+{\overline {CD}}^{2}={\overline {FH}}^{2}}\)

그리고,\({\displaystyle {\overline {CD}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {FH}}^{2}}\) 이므로,

\({\displaystyle {\overline {CD}}^{2}=\left(\left(2{\overline {CB}}\cdot {\overline {BD}}\right)+{\overline {BD}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}\right)}\)이고,
\({\displaystyle \left(\left(2{\overline {CB}}\cdot {\overline {BD}}\right)+{\overline {BD}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}\right)+\left(\left(2{\overline {CB}}\cdot {\overline {BD}}\right)+{\overline {BD}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}\right)={\overline {FH}}^{2}}\)

피타고라스 정리 응용

\({\displaystyle {\overline {CB}}={\overline {CD}}-{\overline {DB}}}\)
\({\displaystyle \left({\overline {CB}}\right)^{2}=\left({\overline {CD}}-{\overline {DB}}\right)^{2}}\)
\({\displaystyle {\overline {CB}}^{2}={\overline {CD}}^{2}-2{\overline {CD}}{\overline {DB}}+{\overline {DB}}^{2}}\)
\({\displaystyle {\overline {CB}}^{2}+2{\overline {CD}}{\overline {DB}}={\overline {CD}}^{2}+{\overline {DB}}^{2}}\)
\({\displaystyle {\overline {DB}}={\overline {DH}}={\overline {MH}}}\)
\({\displaystyle {\overline {CH}}^{2}={\overline {CD}}^{2}+{\overline {DB}}^{2}}\)이고,
\({\displaystyle {\overline {CB}}^{2}+2{\overline {CD}}{\overline {DB}}={\overline {CH}}^{2}}\)

같이 보기


참고 자료


  1. 오늘날의 수학자들은 ‘공리’와 ‘공준’이라는 단어를 형식논리학의 토대에서 사실상 동의어로 사용하지만, 고대 그리스의 에우클레이데스는 그 두 단어를 채택하는 데 공리는 모든 학문 분야에 공통인 초기 가정인 반면에 공준은 특수한 분야에 한정되는 것이라는 점에서 차이를 두었다고 여겨진다.
  2. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙4 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,퍼블릭 도메인)
  3. (구텐베르크 프로젝트-기하학 원론 1권47,John Casey,퍼블릭 도메인)https://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=b505fb05308448caad895d905f0943ad1eb1f613 page53
  4. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙12 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,퍼블릭 도메인)
  5. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙13 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain)
  6. (유클리드 기하학 원론 3권 법칙3 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,PublicDomain)
  7. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain)
  8. (유클리드 기하학 원론 2권 법칙9 )http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트,John Casey,Public Domain)
  9. (유클리드 기하학원론 2권 법칙8) http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트)
  10. (유클리드 기하학원론 2권 법칙5및6) http://www.gutenberg.org/files/21076/21076-pdf.pdf?session_id=9bfd9ef535a37ac859a6028f101fa4451e3226cc (구텐베르크 프로젝트)

외부 링크





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