수리 논리학


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수리논리학(數理論理學, 영어: mathematical logic)은 논리학에서 사용하는 명제들을 수학적인 기호로 표시하는 학문이다. 고틀로프 프레게, 버트런드 러셀, 폴 조지프 코언 등이 개척한 분야로서 일상 언어와 같은 자연언어의 사용에서 올수있는 복잡성과 오류의 용이성을 제거하고 명제를 효과적으로 쉽게 다룰 수 있도록 하기 위해 도입한 현대 논리학 이론으로서, 기호를 많이 사용하여 '기호 논리학'(symbolic logic)이라고도 한다. 컴퓨터 과학 및 철학논리와 밀접하게 연관되어 있다.[1][2]

이 분야는 논리학 및 형식논리의 타 분야로의 응용에 관한 수학적 연구를 포함하고 있으며, 통합적으로는 형식 체계의 표현력과 형식 증명 체계의 연역 가능성에 관한 연구를 포함한다.[3][4][5]

수리논리학은 종종 집합론, 모형 이론, 재귀 이론, 증명 이론, 구성적 수학 등의 하위 분야로 나뉜다. 이 분야들은 공통적으로 1차 논리와 정의가능성 등의 기본적인 논리학적 결과들을 바탕으로 하고 있다.

수리논리학은 처음 출현한 이후 줄곧 수학기초론의 연구와 영향을 주고 받았다. 이 연구는 19세기 말 기하학, 대수학, 분석학의 공리적 구조의 개발과 함께 시작되었다. 20세기 초에는 수학기초론의 무모순성을 증명하려는 다비트 힐베르트의 연구에 의해 다듬어졌다. 쿠르트 괴델게르하르트 겐첸 등은 그 연구에 일부 해결 방법을 제시하였고 무모순성 증명과 관련한 문제들을 명확히 하였다. 비록 몇몇 정리들이 집합 이론의 공리 체계에서 증명 불가능하지만, 집합 이론에서의 연구는 거의 모든 일반적인 수학은 집합의 형태로 형식화할 수 있다는 것을 보여주었다. 수학기초론에서 최근의 연구는 종종 모든 수학을 전개할 수 있는 이론을 찾기보다는 수학의 어느 부분이 특정 형식 체계에서 형식화할 수 있는지 찾는 데 중점을 두고 있다.

목차

기호의 예


언어 기호
그리고 \({\displaystyle \cdot ,\land }\)
또는 \({\displaystyle \lor }\)
만일 A 이면 B 이다 \({\displaystyle A\subset B,A\to B}\)
아니다 \({\displaystyle -,\neg }\)

추론 형식


형식 구조 추론
F1 전가언 3단논법(3명제 모두가 가언 명제) 간접추론
F2 혼합가언 전건긍정 3단논법(대전제 가언 ·소전제 정언 명제) 간접추론
F3 혼합가언 후건부정 3단논법(대전제 가언·소전제 정언) 간접추론
F4 혼합선언 부정3단논법(대전제 선언 명제·소전제 정언) 간접추론
F5 드 모르간의 법칙

\({\displaystyle \neg (P\lor Q)=\neg P\land \neg Q}\)
\({\displaystyle \neg (P\land Q)=\neg P\lor \neg Q}\)

직접추론
F6 연언 명제 직접추론
F7 연언 명제의 분리(Conjunction Elimination) 직접추론
F8 이중부정 직접추론

고전 논리학과 기호 논리학의 비교


명제 고전 논리학 기호논리학의 기호화 기호논리학의 근거제시
전제 1 만약 A가 B라면 C가 아니거나 D이다. \({\displaystyle (A\subset B)\subset (-C\lor D)}\) (-C)
전제 2 A는 E이거나 또는 C이다. \({\displaystyle A\subset (E\lor C)}\) (E)
전제 3 A는 B이다. \({\displaystyle A\subset B}\)
전제 4 A는 D가 아니다. \({\displaystyle A\subset -D}\)
결론1 A는 C가 아니다. \({\displaystyle A\subset -C}\) 전제1,전제4, F3
결론2 A는 E이다. \({\displaystyle A\subset E}\) 전제2,결론1, F3

기호논리학은 복잡한 자연언어의 문장들로 구성된 추론들로부터 기호화된 추론 형식을 적용함으로써 타당성 검증이 가능하게한다.

같이 보기


수학 포털

각주


참고 문헌





분류: 수리논리학 | 논리학의 개념


데이트: 16.03.2021 09:12:33 CET

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