선형대수학



선형대수학(線型代數學, 영어: linear algebra)은 벡터 공간, 벡터, 선형 변환, 행렬, 연립 선형 방정식 등을 연구하는 대수학의 한 분야이다. 현대 선형대수학은 그중에서도 벡터 공간이 주 연구 대상이다. 추상대수학, 함수해석학에 널리 쓰이고 있다.

선형대수학은 자연과학공학에도 널리 활용된다. 선형 연립방정식을 푸는 좋은 방법으로는 소거법행렬식이 있다.

목차

기초


선형대수학은 2차원 혹은 3차원의 직교 좌표계에 대한 연구로 부터 시작되었다.

선형대수학에서 기본적인 정의는 다음과 같다.

보통 3차원까지의 벡터는 그림 등으로 시각적 표현이 가능하지만 그 이상의 벡터는 벡터의 각 구성요소를 괄호 안에 나열함으로써 표기한다.

여러 가지 문제를 수학으로 해결하는 데 있어 선형대수학의 개념은 매우 중요한데, 선형화 혹은 선형 근사를 통해, 복잡한 비선형 방정식 문제를 간단한 선형 방정식 문제로 변환해 문제를 해결할 수 있기 때문이다.

선형성


선형대수학의 선형성(영어: linearity)이라는 성질은 직관적으로는 아래와 같은 개념에서 시작되었다.

\({\displaystyle y=a_{1}\cdot x_{1}+a_{2}\cdot x_{2}+\cdots +a_{n}\cdot x_{n}}\)(\({\displaystyle a_{k}}\)는 상수를, \({\displaystyle x_{k}}\)는 변수를 가리킨다)

이와 같이 선형성은 변수의 지수승(\({\displaystyle x^{n}}\))을 가리키는 것이 아니라 일차함수(\({\displaystyle x^{1}}\))와 같은 형태를 가리킨다. 선형과 대립되는 개념으로 비선형이 있는데, \({\displaystyle x^{n},\sin x,\cos x}\) 등 일차함수와 같은 형태의 성질을 만족시키지 않는 함수들을 가리킨다. 선형의 직관적인 이해는 일차함수와 동일시해서 생각해도 좋다. 하지만 선형의 엄밀한 의미는 일차함수보다 더 확장된다. 수학적으로 정확한 선형의 설명은 다음과 같다.

(정의) 정의역 \({\displaystyle X}\)에서 임의의 원소 \({\displaystyle u,v}\)를 치역 \({\displaystyle Y}\)에 대응시키는 연산 \({\displaystyle T}\)는 다음과 같은 성질을 만족시킬 때 "선형"이라고 한다. 여기서 c는 임의의 상수이다.

(1) \({\displaystyle T(cu)=cT(u)}\)
(2) \({\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)}\)

예를 들어 일차함수 \({\displaystyle y(x)=x}\)를 생각해보자. \({\displaystyle y(cu)=(cu)=c(u)=cy(u)}\)로 (1)번 조건을 만족시키고 \({\displaystyle y(u+v)=(u+v)=u+v=y(u)+y(v)}\)로 (2)번조건을 만족시킨다. 그러므로 이 함수는 선형이다. 이차함수 \({\displaystyle y(x)=x^{2}}\)의 경우에는 \({\displaystyle y(cu)=(cu)^{2}=c^{2}u^{2}=c^{2}y(u)}\)로 조건을 만족시키지 않는다. 다른 선형연산의 예로는 회전변환, 원점을 지나는 직선에 대한 대칭변환, 어떤 벡터 공간에 대한 수직입사 등이 있다.

"선형"이라는 성질은 행렬과 동전의 양면과 같은 관계를 가지고 있다. 어떤 연산이 선형이라면 그것은 행렬로 표현이 가능하며, 어떤 행렬은 반대로 어떤 선형연산으로 해석될 수 있다. 이 선형대수학의 행렬이론은 수학의 이론뿐만 아니라 물리학, 전자공학, 컴퓨터 그래픽, 기계공학 등에 널리 쓰이고 있다.

학부과정


학부과정에서 가르치는 선형대수학의 내용들은 다음과 같다. 다만 이 내용은 일반적으로 이와 같이 가르치는 내용이며 각 학교마다 비중있게 다루는 부분이 다를 수 있고 내용을 추가하거나 뛰어넘을 수 있다.

유용한 정리들


참고 문헌





분류: 선형대수학 | 수치해석학


데이트: 15.03.2021 10:06:20 CET

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