구조 (논리학)



모형 이론에서, 구조(構造, 영어: structure)는 어떤 주어진 1차 논리 언어의 해석을 갖춘 집합이다.

목차

정의


자연수(음이 아닌 정수)의 집합을 \({\displaystyle \mathbb {N} }\)이라고 쓰자.

부호수(符號數, 영어: signature) \({\displaystyle (F,R,\operatorname {arity} _{F},\operatorname {arity} _{R})}\)는 다음과 같은 튜플이다.

부호수 \({\displaystyle (F,R,\operatorname {arity} _{F},\operatorname {arity} _{R})}\)의 구조 \({\displaystyle (M,F_{M}^{n},R_{M}^{n})_{n\in \mathbb {N} }}\)는 다음과 같은 튜플이다.

관계를 포함하지 않는 부호수를 대수적 부호수(영어: algebraic signature)라고 하고, 대수적 부호수의 구조를 대수 구조라고 한다.

언어


부호수 \({\displaystyle (F,R,\operatorname {arity} _{F},\operatorname {arity} _{R})}\)의 (1차 논리) 언어(言語, 영어: language) \({\displaystyle {\mathcal {L}}}\)은 공식(公式, 영어: formula)과 (項, 영어: term)으로 구성된다. \({\displaystyle {\mathcal {L}}}\)의 은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

\({\displaystyle {\mathcal {L}}}\)의 공식은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

만약 \({\displaystyle \phi }\) 속에 변수 \({\displaystyle x_{i}}\)가 등장하지만 \({\displaystyle \forall x_{i}\colon }\)가 등장하지 않는다면, \({\displaystyle x_{i}}\)를 자유 변수(自由變數, 영어: free variable)라고 하고, \({\displaystyle \forall x_{i}\colon }\)가 등장한다면 \({\displaystyle x_{i}}\)를 제한 변수(制限變數, 영어: bound variable)라고 한다. 자유 변수가 없는 공식을 문장(文章, 영어: sentence)이라고 한다. 문장들의 집합을 이론(理論, 영어: theory)이라고 한다.

만족


부호수 \({\displaystyle \sigma }\)의 언어에 속하는 공식 \({\displaystyle \phi }\)가 \({\displaystyle n}\)개의 자유 변수 \({\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}\)을 갖는다고 하자. 부호수 \({\displaystyle \sigma }\)의 구조 \({\displaystyle M}\) 및 \({\displaystyle {\vec {a}}\in M^{n}}\)에 대하여, 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 조건이 성립한다면, \({\displaystyle M}\)이 \({\displaystyle \phi }\)를 치환 \({\displaystyle {\vec {x}}\mapsto {\vec {a}}}\) 아래 만족시킨다(滿足시킨다, 영어: satisfy)고 하고, \({\displaystyle M\models \phi [{\vec {a}}/{\vec {x}}]}\)라고 쓴다. 여기서 부호수의 언어의 논리 기호 \({\displaystyle =}\), \({\displaystyle \lnot }\), \({\displaystyle \land }\), \({\displaystyle \forall }\)은 메타 언어의 논리 기호와 구별하기 위하여 괄호 \({\displaystyle \langle \cdots \rangle }\) 속에 적었다.

부호수 \({\displaystyle \sigma }\)의 언어에서, \({\displaystyle n}\)개의 자유 변수 \({\displaystyle {\vec {x}}}\)를 갖는 공식 \({\displaystyle \phi }\)에 대하여, 만약 \({\displaystyle M\models \phi [{\vec {a}}/{\vec {x}}]}\)인 \({\displaystyle \sigma }\)-구조 \({\displaystyle M}\) 및 \({\displaystyle {\vec {a}}\in M^{n}}\)이 존재한다면, \({\displaystyle \phi }\)를 만족 가능 공식(滿足可能命題, 영어: satisfiable formula)이라고 한다.

이론 \({\displaystyle {\mathcal {T}}}\)의 모형(模型, 영어: model)은 모든 \({\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}\)에 대하여 \({\displaystyle M\models \phi }\)인 \({\displaystyle \sigma }\)-구조 \({\displaystyle M}\)이다.

참고 문헌


외부 링크





분류: 모형 이론 | 보편대수학 | 수리논리학 | 수학적 구조


데이트: 17.03.2021 01:18:55 CET

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